在解释薛定谔方程物理意义的时候，我们从薛定谔方程的数学形式出发，说明薛定谔方程形式上是一个波的扩散方程，其解可以理解为物质波经过充分扩散后的结果。由于物质波本来就假定为无穷大的平面波，所以薛定谔方程的解，即量子波函数（本征函数）可以理解为，经过充分扩散，全局条件有利，仍然能存在的那些波动模式（频率）。

这里我们从薛定谔方程如何得到，以及在实际应用中如何解薛定谔方程，从另一个角度来理解薛定谔方程的物理意义。

需要重复的是，在哥本哈根学派的理论体系中，薛定谔方程是一个基本假定，虽然哥本哈根诠释并没有明确表述。因为薛定谔方程是量子力学的唯一动力学方程。它的出现，解决了令人头疼的原子能级问题，并用来解决几乎所有涉及微观粒子的问题。但是薛定谔并没有解释他是如何推导出该方程的。也就是说，他没有给出该方程的物理依据。没有依据的东西只能是假定。

但是有一个广泛流传的“薛定谔方程的推导过程”，简单总结如下：

首先，德布罗意的物质波假定是：任何物质都有波动性，也就是波。从这一假定出发，定义量子（也可以叫做粒子，或者物质）的形式为一系列理想的平面波：

或者说，量子可以表达为理想平面波的形式。在上面平面波的表达式中，可以找出与能量与动量对应的算符表达式，分别为：

将这两个算符带入经典粒子能量表达式：

就可以得到薛定谔方程：

虽然我们一直把该方程叫做量子的波动方程，它的数学形式却是量子波动的扩散方程。

不管薛定谔是怎么推导的，由于上述推导过程的确得到了薛定谔方程，那么薛定谔方程当然继承了推导过程的所有物理假定。但是这里的假定只有一个，也就是德布罗意物质波假定。能量表达式并不需要假定，它是经典体系中能量的定义。

薛定谔方程只是能量表达式的算符形式，并没有给定任何限制条件。或者说，它是任何时候都成立的，而不是我们一般意义下的方程。数学定义下的方程，是指一定条件下才成立的等式。解方程，就是找到等式成立的条件。所以，从数学定义上来说，薛定谔方程不是方程，而是恒等式。

恒等式是不需要解的。那么，我们说的求解薛定谔方程，究竟做了什么？

以最简单的无限深方势阱为例。假定粒子（物质，量子）处在一个一维无限深方势阱中：

薛定谔方程本身并没有对量子的波函数给出任何限制，但是我们从物理的角度认为，无穷高势垒处不应该存在波函数，所以要求在势垒壁处的波函数为0。这一要求限制了量子波的波长l，要求它只能为阱宽2a的整数分之一。由于波长与频率的对应关系，因此量子波的频率，对应能量，就是分立的，不能连续取值，即能量的量子化。要注意，这里的量子化是能级的量子化，而不是量子能量的量子化，因为量子可以是各种组分的任意比例组合（叠加性）。

从上面的处理方式可以看出，薛定谔方程给出的结论不是来自数学方程求解，而来自物理要求。可以说，薛定谔方程的解是物理解。其实，所有其它问题，如谐振子问题，氢原子问题，等等，做法都是相同的。我们从物理的要求出发（不发散，有意义，可截断，周期性，势能无穷大位置必须为零，等），限制波函数的形式，从而得到一组满足要求的波函数（基），即本征波函数。而任意一个量子，可以由该系统的基任意组合而成。

一个任意的波形（或扰动）可以由傅里叶分解成非常复杂的频率组分，满足系统限制条件的组分可以在系统中维持，而不满足的组分会很快衰减掉，最后的效果就是，扰动的能量集中到几个本征频率上，其它频率都衰减掉了。可以再结合随机涨落的概念，任何涨落产生的影响，如果能维持，也必然集中到本征频率上。

对于任意波动体系，本征频率是一个自然概念，它由系统的性质，如材料、几何形状决定。比如乐器，其本征频率就设计为固定的音符的基频及其倍频。

一个波动体系的本征频率，来自共振效应，所以也叫共振频率，是该体系的优势振动模式。本征频率是系统的全局性质，不能从任何局部得到。如果一个系统存在多个本征频率，这些频率一定是离散的，不能连续变化。

波的一个基本性质是其传播速度。在薛定谔方程的推导和应用过程中，没有波的传播速度概念。量子波都是占据全空间的（除无限深势阱，物理上不存在）。这里隐含假定了量子波的传播速度是无限的。因为传播速度无限大，所以任何波的衰减、加强过程都瞬间完成，系统只剩下单值的本征波动，而不是一般共振峰的高斯分布，所有其它频率的分量都降到零。

薛定谔方程物理解法的数学体现是边条件的设定。边条件虽然是局域的，但是影响是全局的。局域边条件的变化，必然导致全局本征频率的变化，也就是波函数的变化。这一影响也是瞬时的。即，边条件的变化对全局波函数的影响是全局、瞬时的。

物理上的微分方程或方程组，如扩散方程，动力学方程，流体力学方程，麦克斯韦方程组，等，描述的是物理量在时空上的演化规则，只要我们知道了初始时刻系统的状态，理论上我们应该能够计算出后来所有时刻的状态（实际上这一点不一定成立）。对于简单的方程和初始条件，我们可以给出演化的解析形式，但一般不可以。特别是对场量，如流体和电磁场。这些问题我们都需要知道系统的初始状态，然后计算出以后的状态。

但是薛定谔方程并不需要知道系统的初始状态。它需要的是系统的限制条件，然后找到满足这些条件的一组特殊波动模式（即本征模式，波函数）。

总结如下：量子力学讨论的所有客体都是波。薛定谔方程是波能量的算符定义式，或者说，量子的动力学波动形式，是一个恒等式。对薛定谔方程的求解是物理解，由全局条件对波形式的限制得出，即在量子波中寻找符合全局限制条件的组分。这些解具有全局性，瞬时性，分立性，分别对应一般说的非局域性，量子纠缠，和量子化。

可以很容易推论，中心势场的角动量量子化是波函数角向分量全局周期性的要求。

薛定谔方程的解反映了系统的全局理想性质，假定了光速无穷大。同时，它也只能反映全局理想性质，不能反应任何一个细节过程。比如一个原子中的电子如何跃迁，发出光。对于原子能级情形，薛定谔方程的解，是很多相互距离比较大的相同原子，固定不动（没有多普勒效应，或多普勒展宽），同时辐射温度足够高的条件下，所有原子表现出来的全部的、尖锐的、没有宽度的共振峰。这也是薛定谔方程给不出谱线宽度的原因。而一个单独原子的真实电子状态变化，却是一个复杂的过程，可以傅里叶分解出大量的成分。单独电子跃迁过程无法测量，只能由很多相同原子共振，或者让单个原子维持在本征振动上，才能测量到能级间的能量差。量子场论告诉我们，即使单独一个电子，也是无穷复杂的存在。原子结构复杂，存在各种单体与多体作用，远远比一个电子复杂。薛定谔方程的解，是全局条件下，所有粒子参与的电磁作用（或者说所有相互作用）的综合最低阶过程。所有的高阶过程都被薛定谔方程忽略了。

一些不成熟的想法或提示：

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频率和光的关系，

正交性似乎是额外得到的，是本征模式的性质。

限制薛定谔方程解的条件，产生分立本征解的是边条件，而不是势函数，势函数影响的是解的形式

微分方程的解

没有一般解析解法，但是都可以数值求解，谱方法是全局解法

薛定谔方程是严格将时空分开解的（分离变量），空间得到振荡波幅，时间变量上是理想简谐振动，除非特殊情况。处理含时哈密顿量薛定谔方程时采用绝热近似，也是为了将时空分开，分离变量，

但是一般微分方程的解都需要初条件

实际上是求满足一定边条件的能谱，边条件的影响是全局的

对于一个一般形式的、以时空为微分变量的微分方程，只要给定初始条件，总可以给出系统随时间的演化，边条件的介入仅仅是因为我们无法计算无穷大的空间。从数值计算的角度，体系局域下一时刻的状态由邻域上一时刻的状态决定，与其它位置无关。邻域的大小取决于空间离散数值方案采用的距离。即，时空微分方程的演化是由局域决定的，不需要考虑邻域之外的状态。但是也有隐式算法和谱方法（动量空间算法），相当于系统下一时刻的状态由上一时刻的全局性质决定。