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再释薛定谔方程的物理意义
发布时间:2021-10-31点击次数:

在解释薛定谔方程物理意义的时候,我们从薛定谔方程的数学形式出发,说明薛定谔方程形式上是一个波的扩散方程,其解可以理解为物质波经过充分扩散后的结果。由于物质波本来就假定为无穷大的平面波,所以薛定谔方程的解,即量子波函数(本征函数)可以理解为,经过充分扩散,全局条件有利,仍然能存在的那些波动模式(频率)。

这里我们从薛定谔方程如何得到,以及在实际应用中如何解薛定谔方程,从另一个角度来理解薛定谔方程的物理意义。

需要重复的是,在哥本哈根学派的理论体系中,薛定谔方程是一个基本假定,虽然哥本哈根诠释并没有明确表述。因为薛定谔方程是量子力学的唯一动力学方程。它的出现,解决了令人头疼的原子能级问题,并用来解决几乎所有涉及微观粒子的问题。但是薛定谔并没有解释他是如何推导出该方程的。也就是说,他没有给出该方程的物理依据。没有依据的东西只能是假定。

但是有一个广泛流传的“薛定谔方程的推导过程”,简单总结如下:

首先,德布罗意的物质波假定是:任何物质都有波动性,也就是波。从这一假定出发,定义量子(也可以叫做粒子,或者物质)的形式为一系列理想的平面波:

[公式]

或者说,量子可以表达为理想平面波的形式。在上面平面波的表达式中,可以找出与能量与动量对应的算符表达式,分别为:

[公式]

将这两个算符带入经典粒子能量表达式:

[公式]

就可以得到薛定谔方程:

[公式]

虽然我们一直把该方程叫做量子的波动方程,它的数学形式却是量子波动的扩散方程。

不管薛定谔是怎么推导的,由于上述推导过程的确得到了薛定谔方程,那么薛定谔方程当然继承了推导过程的所有物理假定。但是这里的假定只有一个,也就是德布罗意物质波假定。能量表达式并不需要假定,它是经典体系中能量的定义。

薛定谔方程只是能量表达式的算符形式,并没有给定任何限制条件。或者说,它是任何时候都成立的,而不是我们一般意义下的方程。数学定义下的方程,是指一定条件下才成立的等式。解方程,就是找到等式成立的条件。所以,从数学定义上来说,薛定谔方程不是方程,而是恒等式

恒等式是不需要解的。那么,我们说的求解薛定谔方程,究竟做了什么?

以最简单的无限深方势阱为例。假定粒子(物质,量子)处在一个一维无限深方势阱中:

gif.gif

薛定谔方程本身并没有对量子的波函数给出任何限制,但是我们从物理的角度认为,无穷高势垒处不应该存在波函数,所以要求在势垒壁处的波函数为0。这一要求限制了量子波的波长l,要求它只能为阱宽2a的整数分之一。由于波长与频率的对应关系,因此量子波的频率,对应能量,就是分立的,不能连续取值,即能量的量子化。要注意,这里的量子化是能级的量子化,而不是量子能量的量子化,因为量子可以是各种组分的任意比例组合(叠加性)。

从上面的处理方式可以看出,薛定谔方程给出的结论不是来自数学方程求解,而来自物理要求。可以说,薛定谔方程的解是物理解。其实,所有其它问题,如谐振子问题,氢原子问题,等等,做法都是相同的。我们从物理的要求出发(不发散,有意义,可截断,周期性,势能无穷大位置必须为零,等),限制波函数的形式,从而得到一组满足要求的波函数(基),即本征波函数。而任意一个量子,可以由该系统的基任意组合而成。

一个任意的波形(或扰动)可以由傅里叶分解成非常复杂的频率组分,满足系统限制条件的组分可以在系统中维持,而不满足的组分会很快衰减掉,最后的效果就是,扰动的能量集中到几个本征频率上,其它频率都衰减掉了。可以再结合随机涨落的概念,任何涨落产生的影响,如果能维持,也必然集中到本征频率上。

对于任意波动体系,本征频率是一个自然概念,它由系统的性质,如材料、几何形状决定。比如乐器,其本征频率就设计为固定的音符的基频及其倍频。

一个波动体系的本征频率,来自共振效应,所以也叫共振频率,是该体系的优势振动模式。本征频率是系统的全局性质,不能从任何局部得到。如果一个系统存在多个本征频率,这些频率一定是离散的,不能连续变化。

波的一个基本性质是其传播速度。在薛定谔方程的推导和应用过程中,没有波的传播速度概念。量子波都是占据全空间的(除无限深势阱,物理上不存在)。这里隐含假定了量子波的传播速度是无限的。因为传播速度无限大,所以任何波的衰减、加强过程都瞬间完成,系统只剩下单值的本征波动,而不是一般共振峰的高斯分布,所有其它频率的分量都降到零。

薛定谔方程物理解法的数学体现是边条件的设定。边条件虽然是局域的,但是影响是全局的。局域边条件的变化,必然导致全局本征频率的变化,也就是波函数的变化。这一影响也是瞬时的。即,边条件的变化对全局波函数的影响是全局、瞬时的。

物理上的微分方程或方程组,如扩散方程,动力学方程,流体力学方程,麦克斯韦方程组,等,描述的是物理量在时空上的演化规则,只要我们知道了初始时刻系统的状态,理论上我们应该能够计算出后来所有时刻的状态(实际上这一点不一定成立)。对于简单的方程和初始条件,我们可以给出演化的解析形式,但一般不可以。特别是对场量,如流体和电磁场。这些问题我们都需要知道系统的初始状态,然后计算出以后的状态。

但是薛定谔方程并不需要知道系统的初始状态。它需要的是系统的限制条件,然后找到满足这些条件的一组特殊波动模式(即本征模式,波函数)。

总结如下:量子力学讨论的所有客体都是波。薛定谔方程是波能量的算符定义式,或者说,量子的动力学波动形式,是一个恒等式。对薛定谔方程的求解是物理解,由全局条件对波形式的限制得出,即在量子波中寻找符合全局限制条件的组分。这些解具有全局性,瞬时性,分立性,分别对应一般说的非局域性,量子纠缠,和量子化。

可以很容易推论,中心势场的角动量量子化是波函数角向分量全局周期性的要求。




一些不成熟的想法或提示:

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频率和光的关系,

正交性似乎是额外得到的,是本征模式的性质。

限制薛定谔方程解的条件,产生分立本征解的是边条件,而不是势函数,势函数影响的是解的形式


微分方程的解

没有一般解析解法,但是都可以数值求解,谱方法是全局解法

薛定谔方程是严格将时空分开解的(分离变量),空间得到振荡波幅,时间变量上是理想简谐振动,除非特殊情况。处理含时哈密顿量薛定谔方程时采用绝热近似,也是为了将时空分开,分离变量,

但是一般微分方程的解都需要初条件

实际上是求满足一定边条件的能谱,边条件的影响是全局的


对于一个一般形式的、以时空为微分变量的微分方程,只要给定初始条件,总可以给出系统随时间的演化,边条件的介入仅仅是因为我们无法计算无穷大的空间。从数值计算的角度,体系局域下一时刻的状态由邻域上一时刻的状态决定,与其它位置无关。邻域的大小取决于空间离散数值方案采用的距离。即,时空微分方程的演化是由局域决定的,不需要考虑邻域之外的状态。但是也有隐式算法和谱方法(动量空间算法),相当于系统下一时刻的状态由上一时刻的全局性质决定。