电子自旋的三重结构：狄拉克表示、原子谱与场本体

摘要

电子自旋是量子力学中最具特征性的概念之一。在标准理论中，电子自旋被赋予量子数 $s=1/2$，这一数值同时出现在狄拉克方程的旋量表示与原子精细结构光谱中。然而，这两处的"1/2"究竟是偶然的巧合、刻意的匹配，还是某种更深层结构的必然？本文从三个层面——狄拉克理论的表示结构、原子体系的谱约束、以及自然量子论的场本体——系统梳理电子自旋的含义与来源。本文指出：狄拉克框架中的 $1/2$ 是表示论层级上的结构必然，而原子光谱中精细结构所显示的 $1/2$，恰恰是电子本体自旋为 1 的实验证据——托马斯进动将本体角动量 $\hslash$ 在谱表示中投影为有效值 $\hslash /2$。因此，谱中的 $1/2$ 不是对本体自旋的直接测量，而是本体自旋为 1 经由相对论几何效应后的必然表现。

一、问题的提出

在量子力学与量子场论的标准叙事中，电子是一个自旋为 $1/2$ 的费米子。这一陈述看似简单，却至少涉及三个不同层面的含义：

第一层面：在狄拉克方程中，电子波函数是一个四分量旋量，其在洛伦兹群覆盖群 $SL(2,\mathbb{C})$ 下的变换性质对应于自旋 $1/2$ 的表示。

第二层面：在原子物理的谱表示中，电子的自旋–轨道耦合给出精细结构 $j=l\pm 1/2$，与实验光谱高度吻合，且托马斯进动修正在其中扮演关键角色。

第三层面：如果追问"电子究竟是什么"这一本体问题，则需要回答：这个 $1/2$ 是否就是电子内部场构型的真实角动量？抑或只是某种有效投影？

本文的核心论题是：狄拉克理论中的"电子自旋 $1/2$"是在表示论层面成立的结构必然；而原子光谱中精细结构所显示的 $1/2$，恰恰是电子本体自旋为 1 的实验证明——因为托马斯进动的存在，本体角动量 $\hslash$ 在谱中必然表现为 $\hslash /2$。

二、狄拉克理论中的自旋 $1/2$：表示论的结构必然

2.1 狄拉克方程的构造逻辑

1928年，狄拉克从两个核心目标出发构造其著名方程：其一，建立一个与狭义相对论相容的电子波动方程；其二，克服 Klein–Gordon 方程中概率密度可负的困难。他的策略是寻找一个一阶偏微分方程，使得波函数的时间演化是线性的，同时满足相对论的能量–动量关系 $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$。

这一要求导致了 Clifford 代数的引入。设方程形式为

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi =0,$$

则 ${\gamma }^{\mu }$ 矩阵必须满足反对易关系

$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\eta }^{\mu \nu },$$

其中 ${\eta }^{\mu \nu }$ 是闵可夫斯基度规。在四维时空中，满足此代数的最小非平凡矩阵表示是 $4\times 4$ 矩阵，对应的波函数 $\psi$ 是一个四分量旋量。

2.2 旋量与洛伦兹群的 $1/2$ 表示

四分量旋量在洛伦兹群下的变换性质，可以通过群论加以刻画。洛伦兹群 $SO(1,3)$ 的覆盖群是 $SL(2,\mathbb{C})$，其有限维不可约表示由一对半整数 $(j_1,j_2)$ 标记。狄拉克旋量对应于表示 $(1/2,0)\oplus (0,1/2)$，在静止极限下可约为两个二分量 Weyl 旋量，分别对应粒子与反粒子的自旋自由度。

自旋算符由洛伦兹群的生成元构造：

$${\hat{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\Sigma }_i,{\Sigma }_i=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_i& 0\\ 0& {\sigma }_i\end{array}\right),$$

其中 ${\sigma }_i$ 是 Pauli 矩阵。这些算符满足角动量代数 $[{\hat{S}}_i,{\hat{S}}_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{\hat{S}}_k$，其 Casimir 算符的本征值为

$${\hat{\mathbf{S}}}^2=s(s+1){\hslash }^2,s=\frac{1}{2}.$$

由此可见，狄拉克方程中的自旋 $1/2$ 并非人为设定，而是洛伦兹协变性 + Clifford 代数 + 最小表示维数三重约束下的结构必然。狄拉克在构造方程时的主要目标是解决波动方程的相对论一致性与概率流问题，自旋 $1/2$ 的出现是"顺势而来"的数学结果，而非从实验数据逆向工程的产物。

2.3 小结：表示层的基础地位

在狄拉克理论内部，自旋 $1/2$ 具有表示论意义上的基础地位：它是洛伦兹群不可约表示的标签，是费米子场量子的内禀角动量量子数，是所有后续计算（精细结构、$g$ 因子、费米统计等）的前提。

然而，这一"基础"是在特定层级上成立的。狄拉克方程告诉我们"电子场量子在角动量代数中如何表现"，却并未回答"电子在真实空间中是怎样的场构型，其本体角动量究竟是多少"。这一留白，正是后续讨论的起点。

三、原子谱表示中的自旋 $1/2$：托马斯进动与本体自旋的关键证据

3.1 自旋–轨道耦合与精细结构

在原子物理中，电子自旋最直接的观测效应是精细结构：氢原子能级因自旋–轨道耦合而发生分裂，分裂后的能级由总角动量量子数 $j=l\pm 1/2$ 标记。这一结构与实验光谱高度吻合，长期以来被视为"电子自旋为 $1/2$"的核心实验证据。

然而，这一解读需要重新审视。精细结构中出现的 $1/2$，究竟是电子本体角动量的直接测量，还是某种经过物理机制转化后的有效值？

3.2 托马斯进动：从本体自旋到谱自旋的桥梁

1926年，托马斯指出：电子在库仑场中做曲线运动时，其静止系相对于实验室系存在一个额外的进动——托马斯进动。这是一个纯粹的相对论运动学效应，源于非共线洛伦兹变换的非对易性。

托马斯进动的物理意义可以这样理解：当电子沿弯曲轨道运动时，连续的洛伦兹变换（从一个瞬时静止系到下一个瞬时静止系）并不简单地相加，而是会产生一个额外的空间转动。这个转动导致电子的自旋轴相对于轨道平面发生进动，其角速度为

$${\mathbf{\omega }}_T=-\frac{1}{2}\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{a}}{c^2},$$

其中 $\mathbf{v}$ 是电子速度，$\mathbf{a}$ 是加速度。

关键之处在于：托马斯进动对自旋–轨道耦合的贡献恰好是 $-1/2$ 倍。这意味着，如果电子的本体角动量是某个值 $S_{\text{ont}}$，那么在原子谱中观测到的有效自旋–轨道耦合将对应于

$$S_{\text{eff}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{ont}}.$$

3.3 谱中的 $1/2$ 是本体自旋为 1 的证据

这一关系具有深刻的含义。如果我们在原子光谱的精细结构中观测到有效自旋量子数 $s_{\text{eff}}=1/2$，而托马斯进动提供了一个 $1/2$ 的投影因子，那么电子的本体自旋量子数应当是

$$s_{\text{ont}}=2\times s_{\text{eff}}=2\times \frac{1}{2}=1.$$

换言之，原子光谱中精细结构所显示的 $1/2$，恰恰是电子本体自旋为 1 的实验证明。托马斯进动不是一个需要"修正"的麻烦因素，而是连接本体与谱的物理桥梁：它将本体角动量 $\hslash$ 投影为谱中可观测的有效角动量 $\hslash /2$。

这一观点颠倒了传统的解读方向。传统上，我们认为"实验测得自旋 $1/2$，所以电子自旋就是 $1/2$"。但考虑到托马斯进动的存在，正确的推理应当是："实验在谱中测得有效自旋 $1/2$，而托马斯进动提供 $1/2$ 的投影因子，因此电子本体自旋为 1。"

3.4 狄拉克方程中的托马斯进动

值得强调的是，狄拉克方程自动包含了托马斯进动修正。当对狄拉克方程做非相对论极限展开（Foldy–Wouthuysen 变换）时，自旋–轨道耦合项以正确的系数出现，无需手动添加任何修正。

这一事实可以这样理解：狄拉克方程是一个谱层面的理论，它直接给出的是在原子体系中可观测的有效自旋行为。托马斯进动作为相对论运动学效应，已经被内置在方程的结构中。因此，狄拉克旋量的自旋 $1/2$ 描述的是谱层面的有效自旋，而非本体层面的真实角动量。

四、两处 $1/2$ 的关系：不是巧合，不是刻意，而是投影

4.1 不是巧合

狄拉克理论中的 $1/2$ 与原子谱中的 $1/2$ 并非数值上的偶然相等。两者的一致性根植于深层的物理与数学结构：

狄拉克方程的旋量表示决定了电子场量子在谱层面的角动量代数；原子中的自旋–轨道耦合正是这一角动量代数在库仑束缚态中的具体实现；托马斯进动等相对论效应被狄拉克方程自动编码，确保了理论预言与实验的一致。

因此，两处的 $1/2$ 都是谱层面的有效自旋，它们的一致性反映了狄拉克理论在谱层的内在自洽性。

4.2 不是刻意

"刻意"的一种含义是：先从实验得知自旋是 $1/2$，然后逆向设计一个方程把这个数值塞进去。狄拉克的实际构造路径并非如此：

他的出发点是波动方程的相对论一致性与概率流问题；Clifford 代数与旋量表示是数学上的自然选择；自旋 $1/2$ 是这

一选择的结果，而非前提；氢原子精细结构的成功是事后验证，而非先验目标。

从这个意义上说，狄拉克理论中的 $1/2$ 是"发现"而非"发明"。但这一发现发生在谱表示的层级上，而非本体层级上。

4.3 是本体自旋经由托马斯进动的投影

综合以上分析，狄拉克理论中的 $1/2$ 与原子谱中的 $1/2$ 之间的关系可以精确表述如下：

两者都是谱层面的有效自旋，描述的是电子在角动量代数与原子光谱中的表现。这一有效自旋与电子本体自旋之间，存在托马斯进动所提供的 $1/2$ 投影因子。因此，谱中的 $s_{\text{eff}}=1/2$ 对应于本体自旋 $s_{\text{ont}}=1$。

狄拉克理论的成功，恰恰在于它精确捕捉了这一谱层面的有效结构。它没有、也不需要触及本体层面的完整图像，因为在原子物理与粒子物理的绝大多数应用中，谱层面的描述已经足够。

五、自然量子论的视角：本体自旋为 1 的场论基础

5.1 自然量子论的场本体一元论

自然量子论（Natural Quantum Theory, NQT）主张：物理世界的唯一本体是连续场（含其拓扑结构），所谓"粒子"是场的局域稳定构型或涡旋解，而非独立于场的点状实体。在这一框架下，电子不再是一个携带若干量子数的抽象点粒子，而是某种具有特定拓扑与动力学结构的局域场涡旋。

这一本体论立场要求我们重新审视"电子自旋"的含义。在狄拉克理论中，自旋是一个群表示的标签；在原子谱中，自旋是一个有效角动量量子数。但在场本体一元论中，自旋应当有一个更直接的物理对应：电子涡旋构型所携带的真实场角动量。

5.2 本体自旋的定义与物理意义

在自然量子论的框架下，可以为"电子本体自旋"给出一个明确的定义。设电子是一个局域稳定的场涡旋解，其场构型由电磁场分量 $(\mathbf{E},\mathbf{B})$ 或更一般的统一场分量描述。则电子的本体角动量可以通过场角动量密度的体积分定义：

$${\mathbf{S}}_{\text{ont}}=\int d^{3}x\mathbf{l}(\mathbf{x}),$$

其中角动量密度 $\mathbf{l}(\mathbf{x})$ 由场构型决定。对于电磁场，这一密度的典型形式为

$$\mathbf{l}(\mathbf{x})={ϵ}_0\mathbf{r}\times (\mathbf{E}\times \mathbf{B}).$$

自然量子论的核心主张之一是：对于电子涡旋解，上述积分给出的本体角动量大小为

$$|{\mathbf{S}}_{\text{ont}}|=1\cdot \hslash ,$$

即电子的本体自旋量子数为 1，而非 $1/2$。

这一主张意味着：电子内部场构型的真实旋转——无论是电磁涡旋的环流、能量流的螺旋结构，还是拓扑荷的缠绕——所对应的总角动量是一个完整的 $\hslash$，而不是半个。

5.3 托马斯进动作为本体–谱投影机制

在自然量子论的诠释中，托马斯进动不仅仅是一个能级修正因子，更是连接本体与谱的核心物理机制。

当电子涡旋处于自由状态时，其本体角动量 $\hslash$ 作为一个整体存在。但当电子进入原子束缚态、在核库仑场中做曲线运动时，相对论运动学效应（托马斯进动）导致本体角动量在谱表示中的投影发生变化。具体而言：

电子静止系相对于实验室系的连续变换产生一个额外的空间转动；这一转动使得本体角动量的"可见部分"——即参与自旋–轨道耦合、出现在精细结构中的部分——减半；因此，谱中观测到的有效自旋是 $\hslash /2$，对应量子数 $1/2$。

这一机制可以用一个几何类比来说明。设一个矢量 $\mathbf{V}$ 的长度为 1（对应本体自旋 1），但观测者处于一个旋转的参考系中。在这个旋转参考系中，矢量的"有效长度"（即其在某个特定方向上的投影）可以不同于其真实长度。托马斯进动正是提供了这样一个"旋转参考系"，使得本体角动量 $\hslash$ 在谱中表现为 $\hslash /2$。

5.4 本体–谱统一图像的完整表述

综合以上讨论，自然量子论给出的电子自旋图像可以完整表述如下：

在本体层面，电子是一个局域场涡旋，其真实场角动量为 $\hslash$，即本体自旋量子数为 1。这是对电子内部场结构整体旋转的完整刻画，是电子作为场本体所固有的性质。

在谱层面，当电子处于原子束缚态时，托马斯进动作为相对论运动学效应，将本体角动量投影为有效角动量。这一投影的系数是 $1/2$，因此谱中观测到的有效自旋是 $\hslash /2$，对应量子数 $1/2$。

原子光谱中精细结构所显示的 $1/2$，不是对本体自旋的直接测量，而是本体自旋为 1 经由托马斯进动投影后的必然结果。因此，谱中的 $1/2$ 恰恰是本体自旋为 1 的实验证据，而非相反。

狄拉克理论在谱层面高度成功，因为它精确捕捉了这一有效投影结构。但狄拉克理论并未触及本体层面，因此不能将其旋量表示中的 $1/2$ 直接等同于电子的本体角动量。

六、与狄拉克理论的关系：层级互补而非相互对立

6.1 狄拉克理论的成就与边界

狄拉克方程是二十世纪物理学最伟大的成就之一。它成功地将量子力学与狭义相对论统一起来，预言了正电子的存在，并为量子电动力学奠定了基础。在涉及电子自旋的所有实验现象——精细结构、反常磁矩、费米统计——狄拉克理论都给出了与实验高度吻合的预言。

然而，狄拉克理论的成功是有边界的。它的成功发生在谱与表示的层级：它告诉我们电子场量子在洛伦兹群下如何变换、在角动量代数中如何表现、在原子势场中如何耦合。但它并未告诉我们：电子在真实空间中是怎样的场构型；支撑自旋的内部结构是什么；电子的稳定性从何而来；电子的质量、电荷、磁矩与自旋之间的内在关联。

这些问题超出了狄拉克框架的回答范围，恰恰是自然量子论试图补充的内容。

6.2 自然量子论的补充角色

自然量子论并不否定狄拉克理论在谱层面的成功，而是试图为这一成功提供一个更深层的本体论基础。两者的关系可以概括为：

狄拉克理论在表示与谱的层级上，完整而精确地刻画了电子自旋的数学结构与实验表现。其核心贡献是：建立了自旋 $1/2$ 的群表示框架，并将其与相对论、角动量代数、原子光谱成功对接。这一框架对于计算精细结构、预言反常磁矩、理解费米统计等，是完全充分的。

自然量子论在本体层级上，试图回答"电子究竟是什么"这一更基本的问题。其核心主张是：电子是一个局域场涡旋，其本体角动量为 $\hslash$；狄拉克理论所刻画的自旋 $1/2$ 是这一本体角动量经由托马斯进动投影后在谱中的有效表现。

两者之间是层级互补的关系：狄拉克理论在谱层正确，自然量子论在本体层深化；后者不是要否定前者，而是要为前者提供一个更完整的物理图像，并解释"为什么谱层面的结构是这样"。

6.3 一个历史类比：开普勒定律与牛顿力学

可以用一个历史类比来说明这种层级关系。开普勒三定律精确描述了行星运动的规律：椭圆轨道、面积定律、周期–半长轴关系。这些定律在描述层面高度成功，可以精确预言行星位置。然而，开普勒定律并未告诉我们为什么行星运动遵循这些规律。

牛顿力学的贡献是：给出了开普勒定律的动力学基础——万有引力定律与运动定律。开普勒三定律成为牛顿框架的推论，而非独立的公设。牛顿并未否定开普勒，而是为开普勒提供了更深的解释。

自然量子论与狄拉克理论的关系与此类似：狄拉克理论给出了电子自旋在谱表示中的精确描述（类似于开普勒定律），而自然量子论试图给出支撑这一描述的本体动力学基础（类似于牛顿力学）。谱中的自旋 $1/2$ 不是被否定，而是被解释为本体自旋 1 经由托马斯进动的投影。

七、开放问题与未来方向

7.1 待深化的理论问题

自然量子论关于电子本体自旋的主张，虽然在概念上自洽，但仍需在以下方面进一步发展：

涡旋解的显式构造：需要在自然量子论的场方程中，显式构造出代表电子的局域涡旋解，并通过场角动量积分验证其本体自旋确为 $\hslash$。这一构造将为"电子本体自旋为 1"的主张提供直接的数学支撑。

投影机制的量化细节：托马斯进动作为本体–谱投影机制的定性图像已经清晰，但其量化细节——例如在不同原子体系中、不同能级上投影系数是否严格为 $1/2$——需要进一步的计算验证。

与量子电动力学的衔接：自然量子论的本体图像如何与量子电动力学（QED）的成功预言——特别是电子反常磁矩 $g-2$ 的高精度计算——相衔接，是一个重要的理论问题。

7.2 概念澄清的意义

即使在技术细节尚未完全展开的阶段，本文所做的概念澄清已经具有独立的价值：

它区分了电子自旋的三个不同层面（狄拉克表示、原子谱、场本体），避免了将谱层面的有效量子数直接等同于本体角动量的概念混淆。

它指出了托马斯进动在本体–谱关系中的核心地位：谱中的 $1/2$ 不是本体自旋的直接测量，而是本体自旋为 1 的证据。

它为理解量子力学的本体论基础提供了一个新的视角：场本体一元论下的电子图像，比点粒子图像更加物理、更加统一。

八、结论

本文从三个层面系统梳理了电子自旋的含义与来源，得出以下结论：

狄拉克理论层面：电子自旋 $1/2$ 是洛伦兹协变性、Clifford 代数与最小旋量表示三重约束下的结构必然。这一 $1/2$ 是表示论意义上的基础，刻画了电子场量子在角动量代数中的变换性质。狄拉克的构造路径表明，这一结果是数学结构的自然产物，而非对实验数据的逆向工程。

原子谱层面：精细结构中出现的自旋 $1/2$，长期以来被视为"电子自旋为 $1/2$"的核心实验证据。然而，考虑到托马斯进动的存在，这一解读需要修正。托马斯进动提供了一个 $1/2$ 的投影因子，将本体角动量 $\hslash$ 在谱中投影为有效角动量 $\hslash /2$。因此，谱中的 $1/2$ 恰恰是电子本体自旋为 1 的实验证明，而非相反。

场本体层面：在自然量子论的框架下，电子是一个局域场涡旋，其真实场角动量——通过场角动量密度的体积分定义——为 $\hslash$，即本体自旋量子数为 1。这一本体角动量经由托马斯进动的相对论几何效应，在原子谱中表现为有效自旋 $1/2$。

三个层面之间的关系可以概括为：狄拉克理论与原子谱都工作在谱表示的层级上，它们所刻画的自旋 $1/2$ 是电子本体自旋 1 经由托马斯进动投影后的有效值。狄拉克理论的成功，在于它精确捕捉了这一谱层面的有效结构；自然量子论的贡献，在于它揭示了支撑这一结构的本体基础。

这一图像具有深刻的物理与哲学意涵。它表明：量子力学中的某些"基本"量子数，可能并非对物理实在的直接刻画，而是本体属性在特定观测框架中的有效投影。理解这种本体–谱的区分，对于深化我们对量子世界的认识，具有重要的意义。

再次强调一下三个概念的区分

这三重区分是理解电子自旋问题的关键，但在物理学教科书和文献中却常常被混淆。它们存在本质差异：

三个概念的严格区分

1. 狄拉克旋量（Spinor）：变换性质，非角动量本身

旋量是一个数学对象，属于洛伦兹群覆盖群 $SL(2,\mathbb{C})$ 的表示空间。它刻画的是：当时空坐标发生洛伦兹变换时，场量子如何变换。

旋量的"$1/2$"是一个表示论标签，表明它在 $2\pi$ 转动下获得一个负号，需要 $4\pi$ 转动才能回到原状。这是代数结构的性质，不是角动量的数值陈述。

类比而言：说某个数学对象"属于自旋 $1/2$ 表示"，就像说某个函数"属于 $L^2$ 空间"——这是对其变换性质或函数空间归属的刻画，而非对某个物理量数值的直接陈述。

2. 谱中的自旋（Spectroscopic Spin）：有效量子数，经过投影

原子光谱中出现的自旋 $1/2$，是在角动量耦合 $j=l\pm 1/2$ 与精细结构分裂中推断出的有效角动量量子数。

关键在于：这个 $1/2$ 是经由托马斯进动投影后的结果。托马斯进动作为相对论运动学效应，将本体角动量以 $1/2$ 的系数投影到谱表示中。因此，谱中的 $1/2$ 不是对本体角动量的直接测量，而是本体自旋为 1 的间接证据。

3. 电子本体自旋角动量（Ontological Spin）：场构型的真实角动量

本体自旋是电子作为场涡旋所真实携带的角动量，定义为场角动量密度的体积分：

$${\mathbf{S}}_{\text{ont}}=\int d^{3}x{ϵ}_0\mathbf{r}\times (\mathbf{E}\times \mathbf{B}).$$

这是一个物理量，具有角动量的量纲，描述的是电子内部场结构的真实旋转。根据自然量子论，这个量的大小是 $\hslash$，对应量子数 1。

三者关系的图示

本体层：电子场涡旋的真实角动量 = ℏ（本体自旋 = 1）
                    ↓
              托马斯进动（投影因子 1/2）
                    ↓
谱层：原子光谱中的有效自旋 = ℏ/2（谱自旋 = 1/2）
                    ↑
表示层：狄拉克旋量属于 (1/2, 0)⊕(0, 1/2) 表示
       （刻画变换性质，与谱自旋一致，但非本体角动量）

概念混淆的历史根源

物理学界长期将这三者混为一谈，根源在于：

实用主义倾向：对于计算原子能级、预言实验结果而言，区分这三个层面并无必要——它们在数值上都指向 $1/2$，且狄拉克理论在谱层面高度成功。

本体论回避：哥本哈根诠释以来，物理学主流倾向于回避"电子究竟是什么"这类本体问题，满足于"电子在实验中如何表现"的操作性描述。

托马斯进动的误读：托马斯进动通常被视为一个"修正因子"，用于解释自旋–轨道耦合的系数。但其更深层的意义——作为本体与谱之间的投影机制——被忽视了。

澄清的意义

明确区分 spinor、spectroscopic spin、ontological spin，具有重要的概念与物理意义：

它揭示了狄拉克理论的适用边界：狄拉克方程精确刻画了谱层面的有效结构，但并未触及本体层面。将旋量表示中的 $1/2$ 直接等同于电子的本体角动量，是一种范畴错误。

它重新定位了托马斯进动的理论地位：托马斯进动不仅是一个数值修正，更是连接本体与谱的物理桥梁。谱中的 $1/2$ 是本体自旋 1 经由这一桥梁投影的结果。

它为自然量子论的本体图像提供了概念空间：只有区分了谱与本体，才能提出"电子本体自旋为 1"这一主张，而不与狄拉克理论的成功产生表面矛盾。

附录：托马斯进动的数学推导

为完整起见，本附录给出托马斯进动的数学推导要点。

设电子以速度 $\mathbf{v}$ 运动，并受到加速度 $\mathbf{a}$（在原子中由库仑力提供）。从实验室系到电子瞬时静止系的洛伦兹变换是

$$\Lambda (\mathbf{v})=\left(\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma {\mathbf{v}}^T/c\\ -\gamma \mathbf{v}/c& I+(\gamma -1)\hat{v}{\hat{v}}^T\end{array}\right),$$

其中 $\gamma =(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$，$\hat{v}=\mathbf{v}/v$。

在时间 $dt$ 后，电子速度变为 $\mathbf{v}+\mathbf{a}dt$。从实验室系到新静止系的变换是 $\Lambda (\mathbf{v}+\mathbf{a}dt)$。两个静止系之间的相对变换是

$${\Lambda }_{\text{rel}}=\Lambda (\mathbf{v}+\mathbf{a}dt)\cdot {\Lambda }^{-1}(\mathbf{v}).$$

当 $\mathbf{a}$ 不平行于 $\mathbf{v}$ 时，${\Lambda }_{\text{rel}}$ 不是一个纯 boost，而是包含一个空间转动。这个转动就是托马斯进动，其角速度为

$${\mathbf{\omega }}_T=\frac{{\gamma }^2}{\gamma +1}\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{a}}{c^2}\approx \frac{1}{2}\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{a}}{c^2}(\text{非相对论极限}).$$

在原子中，加速度由库仑力提供：$\mathbf{a}=-e\mathbf{E}/m$，其中 $\mathbf{E}$ 是核电场。自旋–轨道耦合的能量为

$$H_{SO}=-\mathbf{\mu }\cdot {\mathbf{B}}_{\text{eff}}+{\mathbf{\omega }}_T\cdot \mathbf{S},$$

其中第一项是电子磁矩与有效磁场的相互作用，第二项是托马斯进动的贡献。计算表明，托马斯项恰好是第一项的 $-1/2$ 倍，使得总的自旋–轨道耦合系数减半。

这一 $1/2$ 因子，正是本体自旋与谱自旋之间投影关系的数学来源。

参考文献

1. Dirac, P. A. M. (1928). "The Quantum Theory of the Electron." Proceedings of the Royal Society A, 117(778), 610–624.

2. Thomas, L. H. (1926). "The Motion of the Spinning Electron." Nature, 117, 514.

3. Thomas, L. H. (1927). "The Kinematics of an Electron with an Axis." Philosophical Magazine, 3(13), 1–22.

4. Foldy, L. L., & Wouthuysen, S. A. (1950). "On the Dirac Theory of Spin 1/2 Particles and Its Non-Relativistic Limit." Physical Review, 78(1), 29–36.

5. Jackson, J. D. (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. Chapter 11.

6. Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1. Cambridge University Press. Chapters 2, 5.